ぱるちのものおき2.0

主にLaTeXや数学のお話をするブログです。

有理数であることを示す抽象的な問題

数学高校数学

今回の問題はこちら。

次の $a,b,c$ はいずれも正の実数とする。
(1)　「 $ab$ が有理数ならば， $(a+b)^2$ は常に有理数となる」という命題の真偽を判定しなさい。
(2)　 $ab,bc,ca$ が有理数ならば， $(a+b+c)^2$ も有理数であることを示しなさい。
(3)　 $ab,bc,ca$ が有理数で，さらに $(a+b+c)^3$ も有理数ならば， $a,b,c$ はいずれも有理数であることを示しなさい。

なかなかとっつきにくい問題に思われるかもしれません。
背理法を用いずに証明することが出来ます。この問題は，大いに時間を使って考えることに意義がある問題と思います。数日ぐらいは考えても良いのでは？でも，数分で解けるかもしれないです。
解説
(1)　実はこの命題は偽です。(2)では似たような感じになっているので，(1)も有理数な気がする・・・！と思ったら，間違いですね。例えば，

$\displaystyle a=2^{1/4},\ b=\frac{1}{2^{1/4}}$

としてみると， $a$ も $b$ も正の実数であり， $ab=1$ ですが，

$(a+b)^2=\left(2^{1/4}+\frac{1}{2^{1/4}}\right)^2=2+\sqrt2+\frac{1}{\sqrt2}=2+\frac{3\sqrt2}{2}$

となり，これは無理数です。したがって，この $a,b$ が反例となります。

(2)　 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ より， $a^2+b^2+c^2$ が有理数であることを示せばよいです。有理数であることを $ab,bc,ca$ だけで示すことを考えます。ややテクニカルかもしれませんが，

$\displaystyle a^2+b^2+c^2=\frac{ab\!\cdot\!ac}{bc}+\frac{ab\!\cdot\!bc}{ac}+\frac{ac\!\cdot\!bc}{ab}$

という恒等式が成り立ち，仮定より右辺はすべて有理数の四則演算ですので， $a^2+b^2+c^2$ も有理数です。よって，
$(a+b+c)^2$ が有理数であることが示されました。

(3)　(2)で示したことを使うことが出来ます。 $(a+b+c)^2$ が有理数であることを用いると，

$\displaystyle a+b+c=\frac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)^2}$

という恒等式より， $a+b+c$ も有理数であることがわかります。さらに，

$\displaystyle a=\frac{a(a+b+c)}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\left( a^2+ab+ac \right)=\frac{1}{a+b+c}\left( \frac{ab\!\cdot\!ac}{bc}+ab+ac \right)$

と変形することができ，右辺は全て有理数の四則演算ですので， $a$ は有理数であることが結論付けられます。

同様に，

$\displaystyle b=\frac{b(a+b+c)}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\left( ab+b^2+bc \right)=\frac{1}{a+b+c}\left( ab+\frac{ab\!\cdot\!bc}{ac}+bc \right)$

$\displaystyle c=\frac{c(a+b+c)}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\left( ac+bc+c^2 \right)=\frac{1}{a+b+c}\left( ab+bc+\frac{ac\!\cdot\!bc}{ab}\right)$

より， $b,c$ も有理数であることが言えました。

こういう問題を秒で解く人に，私はなりたい。