領域の通過領域【GeoGebra】 - ぱるちのものおき2.0

よく大学受験では「直線の通過領域」ということで，ファクシミリの原理なんてお名前で呼ばれるものがあるけど，以下の問題は，いわゆる「領域の通過領域」を求める問題です。まずは問題を見てみよう。

座標平面において， $\mathrm{O}(0,0)$ を中心とする半径 $1$ の円 $C$ があり，その内部に
点 $\mathrm{A}(a,0)\ \ (0\lt a\lt1)$ を取る。 $C$ 上の $2$ 点 $\mathrm{P}$ ， $\mathrm{Q}$ が $\angle\mathrm{PAQ}=90^{\circ}$ を満たしながら動くとき，以下の問に答えなさい。
(1)　 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}，\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}，\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ とおくとき， $\overrightarrow{p}\!\cdot\!\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a}\!\cdot\!(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q})$ の値を $a$ を用いて表しなさい。
　
(2)　線分 $\mathrm{OA}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。線分 $\mathrm{PQ}$ の中点 $\mathrm{R}$ は， $\mathrm{P}$ ， $\mathrm{Q}$ の位置によらず $\mathrm{M}$ を中心とするある定円上にあることを示し，その円の半径を $a$ を用いて表しなさい。
　
(3)　(2)の円の内部の領域（境界は除く）を $D$ とし， $C$ 上に定点 $\mathrm{A_0}(1,0)$ をとる。 $\mathrm{A}$ が線分 $\mathrm{OA_0}$ 上（両端は除く）を動くとき， $D$ が通過する範囲の面積を求めなさい。
　
[平成29年度河合塾東工大直前トライアル大問1（出題の意図を変えない範囲で改めています。）]

記号がいっぱいあって大変に見えます。確か大学受験の2週間前にこの問題に遭遇して*1，(3)の解き方が分からなくて，んで初めて予備校講師先生*2の解説を聞いて，ともかくいろいろ印象に残っている問題です。

僕の偏見だけど，これが解ければ「通過領域」の問題は強い人という認識で良いと思います。

さ，というわけで今回も解答（例）を書いていきましょう。なんとなく今回は丁寧語で書きたい気分ですので，ですます調で頑張っていきます。

(1)　ベクトルと $90^{\circ}$ があったら，やはり内積は0であることを用いるのが最も自然な流れと思います。今回の問題ならば，
$\angle\mathrm{PAQ}=90^{\circ} \iff \overrightarrow{\mathrm{AP}}\!\cdot\!\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=0$
です。
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a}$ ですので，
$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\!\cdot\!(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a})=0$
つまり，
$\overrightarrow{p}\!\cdot\!\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a}\!\cdot\!(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q})+| \overrightarrow{a}|^2=0$

$\therefore \underline{\overrightarrow{p}\!\cdot\!\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a}\!\cdot\!(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q})=-a^2}$

(2)　円の中心と，円周上の $1$ 点を問題文が教えてくれています。そのため，かなり自然な思考回路で，
$| \overrightarrow{\mathrm{MR}} |$ が一定であることを示せばよいことに気が付きます。

というわけで，まずは $\overrightarrow{\mathrm{MR}}$ を求めましょう。

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MR}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}}{2}-\frac{\overrightarrow{a}}{2}=\frac{\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a}}{2}$

です。絶対値そのものよりも， $2$ 乗を考えるべきですので，

$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MR}} |^2=\frac{|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a}|^2}{4}=\frac{1+1+a^2+2(\underline{\overrightarrow{p}\!\cdot\!\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a}\!\cdot\!(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q})})}{4}=\frac{2+a^2-2a^2}{4}=\frac{2-a^2}{4}$
よって， $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MR}} |=\frac{\sqrt{2-a^2}}{2}$ は一定値*3ですから， $\mathrm{R}$ は $\mathrm{M}$ を中心とする半径 $\displaystyle \frac{\sqrt{2-a^2}}{2}$ 上にあることが示されました。

(3)　 $D$ 内の点 $(x,y)$ は，(2)より次の条件を満たします。（これは必要十分です。）

$(x-\frac{a}{2})^2+y^2\lt \frac{2-a^2}{4}\cdots\cdots(\ast)$

少し状況を把握してみましょう*4。
以下で動かせるものは，点Pとaの値です。aの値が変化することで，卵みたいな領域が浮かび上がってきます。
<br />
これを満たす点 $(x,y)$ の集合を考えたいのですが，これはファクシミリの原理でもやりましたたように，これを満たす $a$ が， $0\lt a\lt 1$ で存在するような点 $(x,y)$ の条件を考えることで議論を進めることが出来ます。

$(\ast)$ の式を $a$ について整理しますと，

$\phantom{\iff}\displaystyle \frac{a^2}{2}-ax+x^2+y^2-\frac12\lt 0$

$\iff (a-x)^2+2y^2+x^2-1\lt 0$

この条件を満たし，かつ $0\lt a\lt 1$ を満たすような $a$ が存在する $(x,y)$ の条件を，場合分けをすることで求めていきます。

説明のため， $f(a)= (a-x)^2+2y^2+x^2-1$ とします。

① $x\leq 0$ のときは， $f(0)\lt 0$ を満たすことが必要十分です*5。このことから，
$2y^2+2x^2-1\lt 0 \iff x^2+y^2\lt \left( \frac{1}{\sqrt2} \right)^2$ です。

② $0\leq x\leq 1$ のときは， $f(x)<0$ を満たすことが必要十分となります。このことから，
$x^2+2y^2\lt 1$ です。

③ $1\leq x$ のときは， $f(1)\lt 0$ を満たすことが必要十分です。このとき，

$(x-1)^2+2y^2+(x^2-1) \lt 0$ を満たすことが必要十分ですが， $1\leq x$ のときは，左辺は必ず $0$ 以上です。よって，③のときはありえません。

よって， $(x,y)$ は①と②を満たす $(x,y)$ の集合の和集合ですので，図示しますと以下のようになります。

f:id:f_d0123:20190509020322p:plain — 卵みたい！

この面積を求めることが最後の作業になります。この面積は，

$\displaystyle \begin{align} &\frac{\pi}{4}+2\times \int_0^1 \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt2}\,dx\\ =&\frac{\pi}{4}+\sqrt2\times \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx\\ =&\frac{\pi}{4}+\sqrt2\times \frac{\pi}{4}\\ =&\underline{\frac{1+\sqrt2}{4}\pi} \end{align}$
ただし，この式変形の途中で， $\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{\pi}{4}$ を認めて計算をしている部分があります。（半径 $1$ の四分位円だから，この積分は認めました。）