ぱるちのものおき ver 2.0

主にLaTeXや数学のお話をするブログです。

おもしろそうなので解いてみた

タイトルの通り,僕なりに解答を仕上げてみようと思う。

 

まぁ,一番解いてみたくなった理由は,「どこかで見たことがあるかもしれない」っていう微妙な既視感だけど。多分,どちゃ楽数学bot様かな?? 

なんだっけ,「黄金数の累乗はほとんど整数」って話かな??

 

Q.155 ☆? ある数が「ほとんど整数」であるとは,整数ではないが,整数に非常に近いことを意味する。黄金比\phi=\frac{1+\sqrt5}{2} の累乗はほとんど整数である。たとえば,\phi^{18}=5777.999826\cdots は,見ての通り整数に近い。 \phiの累乗がほとんど整数である理由を簡潔に説明せよ。

どちゃ楽 Q.155 「ほとんど整数」 - Unlimited Prime

 

まぁいいや。解いてみましょ。方針はこの「ほとんど整数」がベースです。

 

 

(5+2\sqrt{5})^{2019}は,「ほとんど整数」であると言えます。

理由を説明しましょう。

5+2\sqrt{5}=\alpha, 5-2\sqrt5=\betaとおきます。この時,{\alpha+\beta=10,\alpha\beta=5}です。

また,{\alpha^n+\beta^n=x_n}とします。

このとき,すべての自然数nに対して,x_n自然数となります。実際,x_{n+2} に対して

 \begin{alignat*}{5} \alpha^{n+2}+\beta^{n+2}=(\alpha+\beta)(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})-\alpha\beta(\alpha^n+\beta^n)\\ =10(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})-5(\alpha^n+\beta^n) \end{alignat*}

\therefore\quad x_{n+2}=10x_{n+1}-5x_{n}\quad\cdots(\ast)

が成り立ち,{x_1=10,\quad x_2=100-10=90}より,帰納的に任意の自然数nについてx_n自然数になることがわかります。

(ていうか,{\alpha+\beta, \alpha\beta}が共に整数ならば,\alpha^n+\beta^nも整数になるってのは典型問題だし,もっと言うとこの問題は求めるだけでいいので,本番ならばメンドくさくて証明しないけどね。)

つまり,

{(5+2\sqrt{5})^{2019}+\underbrace{(5-2\sqrt{5})^{2019}}_{限りなく0に近い正の数}=x_{2019}=(\textrm{整数})}

と表現できます。

てことは,{(5+2\sqrt{5})^{2019}}は「ほとんど整数」(小数点以下が,{.9999999999\cdots}って続く感じ。*1)であることが証明できました。

さて,x_nの性質を調べてみます。この問題は,100で割った余りを考察すれば十分ですので,\textrm{mod}\ 100として議論します。

{x_3\equiv 10\cdot 90-5\cdot 10\equiv 50,\quad x_4\equiv 10\cdot 50-5\cdot90\equiv50}

{x_5\equiv10\cdot50-5\cdot50\equiv50,x_6\equiv x_7\equiv\cdots\cdots\equiv x_{2019}\equiv50}

つまり,x_{2019}を100で割った余りは50です。

このことと,\alpha^{2019}が「ほとんど整数」であることから,求める【エ】は49であることが結論付けられます。(おわり)

 

【追記】あ,今年の京大数学も,複素数なんて使わないで似たようにして解けるのかな??ちょっとこんな感じの方針でやってみっぺ。

 

i虚数単位とする。{(1+i)^n+(1-i)^n \gt 10^{10}} を満たす最小の正の整数 n を求めよ。

 

ちょっと試行錯誤。

1+i=\alpha,\quad 1-i=\beta とする。このとき,\alpha+\beta=2,\quad \alpha\beta=2 である。また,\alpha^n+\beta^n=x_nとする。

このとき,x_1=2,\quad x_2=0 である。また,

 \begin{alignat*}{5} \alpha^{n+2}+\beta^{n+2}=(\alpha+\beta)(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})-\alpha\beta(\alpha^n+\beta^n)\\ =2(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})-2(\alpha^n+\beta^n) \end{alignat*}

より,x_{n+2}=2x_{n+1}-2x_n である。

この数列\{x_n\}の一般項を求める(過程は略)と,x_n=(1+i)^n+(1-i)^n

 

・・・あ。

 

はは,ふははははははははは!!!!!!頭の悪い式変形をしてしまった!!!!!!!!

 

んじゃあだめだこりゃ!!!もういいや。POWERPLAY START!!!!!!!!!!!!!!!!

x_1=2\\x_2=0\\x_3=-4\\x_4=-8\\x_5=-8\\x_6=0\\\vdots

どうやって10^{10}までたどり着くねん。大人しく極形式から対数評価に持ち込めや。

*1:後付けだけど,小数第560位ぐらいまでは9が続きます。