おもしろそうなので解いてみた - ぱるちのものおき2.0

とある私文の小問集合（笑）が難し過ぎて話題になっていると聞いて見てみたが，これは確かにキツイっすねぇ･･･．
殆どの理系大学生，時間掛けても解けないのでは･･･？ pic.twitter.com/vhLKjWDEwM
— 坂どん (@banban7866) 2019年3月16日

タイトルの通り，僕なりに解答を仕上げてみようと思う。

まぁ，一番解いてみたくなった理由は，「どこかで見たことがあるかもしれない」っていう微妙な既視感だけど。多分，どちゃ楽数学bot様かな??

なんだっけ，「黄金数の累乗はほとんど整数」って話かな？？

Q.155 ☆? ある数が「ほとんど整数」であるとは，整数ではないが，整数に非常に近いことを意味する。黄金比 $\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ の累乗はほとんど整数である。たとえば， $\phi^{18}=5777.999826\cdots$ は，見ての通り整数に近い。 $\phi$ の累乗がほとんど整数である理由を簡潔に説明せよ。
どちゃ楽 Q.155 「ほとんど整数」 - Unlimited Prime

まぁいいや。解いてみましょ。方針はこの「ほとんど整数」がベースです。

$(5+2\sqrt{5})^{2019}$ は，「ほとんど整数」であると言えます。

理由を説明しましょう。

$5+2\sqrt{5}=\alpha$ ,　 $5-2\sqrt5=\beta$ とおきます。この時， ${\alpha+\beta=10,\alpha\beta=5}$ です。

また， ${\alpha^n+\beta^n=x_n}$ とします。

このとき，すべての自然数 $n$ に対して， $x_n$ は自然数となります。実際， $x_{n+2}$ に対して

$\begin{alignat*}{5} \alpha^{n+2}+\beta^{n+2}=(\alpha+\beta)(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})-\alpha\beta(\alpha^n+\beta^n)\\ =10(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})-5(\alpha^n+\beta^n) \end{alignat*}$

$\therefore\quad x_{n+2}=10x_{n+1}-5x_{n}\quad\cdots(\ast)$

が成り立ち， ${x_1=10,\quad x_2=100-10=90}$ より，帰納的に任意の自然数 $n$ について $x_n$ は自然数になることがわかります。

（ていうか， ${\alpha+\beta, \alpha\beta}$ が共に整数ならば， $\alpha^n+\beta^n$ も整数になるってのは典型問題だし，もっと言うとこの問題は求めるだけでいいので，本番ならばメンドくさくて証明しないけどね。）

つまり，

${(5+2\sqrt{5})^{2019}+\underbrace{(5-2\sqrt{5})^{2019}}_{限りなく0に近い正の数}=x_{2019}=(\textrm{整数})}$

と表現できます。

てことは， ${(5+2\sqrt{5})^{2019}}$ は「ほとんど整数」（小数点以下が， ${.9999999999\cdots}$ って続く感じ。*1）であることが証明できました。

さて， $x_n$ の性質を調べてみます。この問題は， $100$ で割った余りを考察すれば十分ですので， $\textrm{mod}\ 100$ として議論します。

${x_3\equiv 10\cdot 90-5\cdot 10\equiv 50,\quad x_4\equiv 10\cdot 50-5\cdot90\equiv50}$

${x_5\equiv10\cdot50-5\cdot50\equiv50，x_6\equiv x_7\equiv\cdots\cdots\equiv x_{2019}\equiv50}$

つまり， $x_{2019}$ を100で割った余りは50です。

このことと， $\alpha^{2019}$ が「ほとんど整数」であることから，求める【エ】は49であることが結論付けられます。（おわり）

【追記】あ，今年の京大数学も，複素数なんて使わないで似たようにして解けるのかな？？ちょっとこんな感じの方針でやってみっぺ。

$i$ は虚数単位とする。 ${(1+i)^n+(1-i)^n \gt 10^{10}}$ を満たす最小の正の整数 $n$ を求めよ。

ちょっと試行錯誤。

$1+i=\alpha,\quad 1-i=\beta$ とする。このとき， $\alpha+\beta=2,\quad \alpha\beta=2$ である。また， $\alpha^n+\beta^n=x_n$ とする。

このとき， $x_1=2,\quad x_2=0$ である。また，

$\begin{alignat*}{5} \alpha^{n+2}+\beta^{n+2}=(\alpha+\beta)(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})-\alpha\beta(\alpha^n+\beta^n)\\ =2(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})-2(\alpha^n+\beta^n) \end{alignat*}$