ぱるちのものおき2.0

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定数分離の方法

高校数学

この記事では，数学Iで習う二次関数の応用的な考え方の1つである，定数分離の方法について解説します。

まずは簡単な例題を

$x$ についての2次方程式
　　　 $x^2-2x-a=0\quad\cdots\cdots(\ast)$
の異なる実数解の個数は， $a$ の値によってどのように変わるか。

解答1

まずはこの問題に対して，自然な解答を提示します。判別式を用いる方法です。

$(\ast)$ の判別式を $D$ とすると，

$D>0\quad\iff\quad$ 異なる実数解は2個
$D=0\quad\iff\quad$ 異なる実数解は1個
$D<0\quad\iff\quad$ 異なる実数解は0個

が成り立つ。また，

　　　 $D/4=1+a$

だから，

$a\gt -1$ のとき，異なる実数解は2個
$a=-1$ のとき，異なる実数解は1個
$a\lt -1$ のとき，異なる実数解は0個（解答終）

この問題の状況をGeoGebraで遊んでみてください。
<br />

解答2

$(\ast)$ を変形すると，

　　　 $x^2-2x=a\quad\iff\quad (x-1)^2-1=a$

となる。

$(\ast)$ の実数解の個数は， $y=(x-1)^2-1$ のグラフと $y=a$ のグラフの共有点の個数に等しい。
f:id:f_d0123:20190624011915p:plain
したがって，
$a>-1$ のとき，異なる実数解は2個
$a=-1$ のとき，異なる実数解は1個
$a<-1$ のとき，異なる実数解は0個（解答終）

この問題の状況をGeoGebraで遊んでみてください。
<br />
状況が少し異なっていますね。

このように，方程式を，（定数がない式）＝（定数だけの式）と変形して，2つのグラフの共有点の個数を考える方法を，定数分離の方法と呼びます。*1

みんな大好き絶対値

今度は，みんな大好き絶対値が絡む問題に挑戦してみましょう。

$x$ についての2次方程式
　　　 $|x^2-3x-4|+3x=k$
の異なる実数解の個数は， $k$ の値によってどのように変わるか。

解答
$y=|x^2-3x-4|+3x$ のグラフを①とする。
求める実数解の個数は，①と $y=k$ のグラフの共有点の個数に等しい。

また，①は，
(ア) $x^2-3x-4\geqq 0$ のとき，つまり， $x\leqq-1,\quad 4\leqq x$ のとき，

　　　 $y=(x^2-3x-4)+3x=x^2-4$

(イ) $x^2-3x-4\lt 0$ のとき，つまり， $-1\lt x\lt 4$ のとき，

　　　 $y=-(x^2-3x-4)+3x=-x^2+6x+4=-(x-3)^2+13$

よって①を図示すると以下のようになる。
f:id:f_d0123:20190624174534p:plain
<br />
よって，①と $y=k$ のグラフの共有点の個数は，

$k<-3$ のとき，0個
$k=-3$ のとき，1個
$-3\lt k\lt 12,\quad 13\lt k$ のとき，2個
$k=12,13$ のとき，3個
$12\lt k\lt 13$ のとき，4個　（解答終）

こういう問題こそGeoGebra！

*1:別に両辺に変数があってもいいんですが，それだと大抵の場合面倒です。