ぱるちのものおき2.0

主にLaTeXや数学のお話をするブログです。

無理数の独立性（?）

数学高校数学

次の問題を解いてみよう。

$a,b,c,d$ を有理数とする。このとき，次を証明しなさい。
$a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=0 \iff a=b=c=d=0$

$(\Longleftarrow)$ は明らかなので， $(\Longrightarrow)$ を証明することになります。

初手が肝心だと思います。

$a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=0$ とする。この式を①とする。

①を変形して，

$a+c\sqrt3=-b\sqrt2-d\sqrt6$

この両辺を2乗して，

$a^2+2ac\sqrt3+3c^2=2b^2+4bd\sqrt3+6d^2$

変形して，

$(2ac-4bd)\sqrt3=-(a^2-2b^2+3c^2-6d^2)$

もしも $(2ac-4bd\neq0)$ であると仮定すると，

$\displaystyle\sqrt3=\frac{a^2-2b^2+3c^2-6d^2}{2ac-4bd}$

となり，（無理数） $=$ （有理数）となってしまうので矛盾。

したがって， $2ac-4bd=0$ （この式を②とする）
ここから $a^2-2b^2+3c^2-6d^2=0$ （この式を③とする）も従う。

もう1回①を変形しなおすと，
$a+d\sqrt6=-b\sqrt2-c\sqrt3$

この両辺を2乗して，

$a^2+2ad\sqrt6+6d^2=2b^2+2bc\sqrt6+3c^2$

これについても， $\sqrt6$ が無理数であることを利用すると，
$a^2+6d^2=2b^2+3c^2,\qquad 2ad=2bc$
が従う。（この式を④，⑤と名付けておく。）

⑤の両辺を2で割って $c$ をかけることで，
$\underline{ac}d=bc^2$

ここに②を代入して，

$2bd^2=bc^2$

$\therefore 2d^2=c^2$ または， $b=0$

$\therefore c=\pm\sqrt2d$ または， $b=0$

前者を満たすためには， $\sqrt2$ が無理数であることから， $c=d=0$ でなければいけない。

つまり， $c=d=0$ または， $b=0$ である。

$c=d=0$ ならば，
①より， $a+b\sqrt2=0$ であり，これも同様の議論で $a=b=0$ が従う。

$b=0$ ならば，②，⑤より， $ac=ad=0$

これも， $a=0$ または $c=d=0$ と場合分けが出来る。

$c=d=0$ ならば，①より $a=0$ が成り立つ。

$a=0$ ならば，①より $c\sqrt3+d\sqrt6=0$ となり，
この式の両辺を $\sqrt3$ で割ることで， $c+d\sqrt2=0$

よって $\sqrt2$ が無理数であることを用いて， $c=d=0$ が従う。

これですべての場合を尽くしたので， $a=b=c=d=0$ である*1。■

この問題，不思議です。いろいろと。

ちょっと代数の言葉に書き換えてみよう。

$\mathbb{Q}[\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6$ ]について，(書き途中)

*1:この解法だと， $\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6$ が無理数であることをフルに利用しているんですが，例えば $\sqrt3$ が無理数であることを用いないで示す方法ってあるのかなぁ。うーん，わかんないや！