ぱるちのものおき ver 2.0

主にLaTeXや数学のお話をするブログです。

通過領域とGeoGebra

今日は直線の通過領域の問題です。GeoGebraを駆使します。

xy 平面における 2 つの放物線 C:y=(x-a)^2+b,\quad D:y=-x^2 を考える。

(1) CD が異なる 2 点で交わり,その 2 交点の x 座標の差が 1 となるように実数 a,\ b が動くとき,C の頂点 (a,b) の軌跡を図示せよ。

(2) 実数 a,\ b が (1) の条件を満たしながら動くとき,CD2 交点を結ぶ直線が通過する範囲を求め,図示せよ。
(18 東北大)

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分数は‘‘well-defined’’

この記事では,分数というものがどれほど高級なものであるかを見ていきます。ざっくりと概要を説明しますと,

分数の計算って,どうやって説明証明するの??

ってお話。数学をする人にはかなり平易な文章です。お許しください。

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a^3+b^3+c^3=d^3

今日の出発はこちらになります。(あれ?毎日高校数学してない?)


a,b,c,d0でない整数とする。a,b,c,d がこの順に等比数列を成すとき,

   a^3+b^3+c^3=d^3

は必ず成り立たないことを証明せよ。

これについてみていきましょう。今回はやや長めです。

  • まずはこの問題に解答を
  • で,僕は何が言いたいの?
    • どれかが0の場合
      • どれか3つ以上が0の場合
      • どれか2つが0の場合
      • どれか1つが0の場合
    • いずれも0でない場合
      • 等差数列ならば
      • タクシー数
      • 断念
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有理数であることを示す抽象的な問題

今回の問題はこちら。

次のa,b,cはいずれも正の実数とする。
(1) 「ab有理数ならば,(a+b)^2は常に有理数となる」という命題の真偽を判定しなさい。
(2) ab,bc,ca有理数ならば,(a+b+c)^2有理数であることを示しなさい。
(3) ab,bc,ca有理数で,さらに(a+b+c)^3有理数ならば,a,b,cはいずれも有理数であることを示しなさい。

なかなかとっつきにくい問題に思われるかもしれません。
背理法を用いずに証明することが出来ます。この問題は,大いに時間を使って考えることに意義がある問題と思います。数日ぐらいは考えても良いのでは?でも,数分で解けるかもしれないです。

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領域の通過領域~GeoGebraを込めて~

よく大学受験では「直線の通過領域」ということで,ファクシミリの原理なんてお名前で呼ばれるものがあるけど,以下の問題は,いわゆる「領域の通過領域」を求める問題です。まずは問題を見てみよう。

座標平面において, \mathrm{O}(0,0)を中心とする半径1の円Cがあり,その内部に
\mathrm{A}(a,0)\ \ (0\lt a\lt1) を取る。C 上の 2\mathrm{P}\mathrm{Q}\angle\mathrm{PAQ}=90^{\circ} を満たしながら動くとき,以下の問に答えなさい。
(1) \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}},\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} とおくとき, \overrightarrow{p}\!\cdot\!\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a}\!\cdot\!(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}) の値をaを用いて表しなさい。
 
(2) 線分 \mathrm{OA} の中点を\mathrm{M}とする。線分 \mathrm{PQ} の中点 \mathrm{R} は,\mathrm{P}\mathrm{Q}の位置によらず \mathrm{M} を中心とするある定円上にあることを示し,その円の半径をaを用いて表しなさい。
 
(3) (2)の円の内部の領域(境界は除く)を D とし,C 上に定点\mathrm{A_0}(1,0) をとる。\mathrm{A} が線分 \mathrm{OA_0} 上(両端は除く)を動くとき,D が通過する範囲の面積を求めなさい。
 
[平成29年度河合塾東工大直前トライアル 大問1(出題の意図を変えない範囲で改めています。)]

記号がいっぱいあって大変に見えます。確か大学受験の2週間前にこの問題に遭遇して*1,(3)の解き方が分からなくて,んで初めて予備校講師先生*2の解説を聞いて,ともかくいろいろ印象に残っている問題です。

僕の偏見だけど,これが解ければ「通過領域」の問題は強い人という認識で良いと思います。

さ,というわけで今回も解答(例)を書いていきましょう。なんとなく今回は丁寧語で書きたい気分ですので,ですます調で頑張っていきます。

*1:誘っていただいたA君にはものすごーーーーく感謝しています。どちらかが落ちたらすごく気まずいなぁと思っていましたが,無事2人とも受かったので何よりです。

*2:鈴木 克昌先生と記憶しています。丸めがねが印象的です。

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明日話したくなる豆知識~僕の好きな素数~

「僕の好きな素数4649です。」

ほぼ初対面の人とのコミュニケーションで素数の話題になったとき(?),僕はきっとこんなことをいいます。ていうか何度か言っています。なぜ?って思われると思いますが,

  • 4649素数である。
  • 4649が「よろしく」の語呂となっている。
  • 4649\times 239=1111111である。

これだけです。特に一番最後に載せた式が美しい。

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