通過領域とGeoGebra

今日は直線の通過領域の問題です。GeoGebraを駆使します。

平面における つの放物線 を考える。

(1) と が異なる 点で交わり，その 交点の 座標の差が となるように実数 が動くとき， の頂点 の軌跡を図示せよ。

(2) 実数 が (1) の条件を満たしながら動くとき， と の 交点を結ぶ直線が通過する範囲を求め，図示せよ。
（18 東北大）

分数は‘‘well-defined’’

この記事では，分数というものがどれほど高級なものであるかを見ていきます。ざっくりと概要を説明しますと，

分数の計算って，どうやって説明証明するの？？

ってお話。数学をする人にはかなり平易な文章です。お許しください。

a^3+b^3+c^3=d^3

今日の出発はこちらになります。（あれ？毎日高校数学してない？）

をでない整数とする。 がこの順に等比数列を成すとき，

　　　

は必ず成り立たないことを証明せよ。

これについてみていきましょう。今回はやや長めです。

有理数であることを示す抽象的な問題

今回の問題はこちら。

次のはいずれも正の実数とする。
(1)　「が有理数ならば，は常に有理数となる」という命題の真偽を判定しなさい。
(2)　が有理数ならば，も有理数であることを示しなさい。
(3)　が有理数で，さらにも有理数ならば，はいずれも有理数であることを示しなさい。

なかなかとっつきにくい問題に思われるかもしれません。
背理法を用いずに証明することが出来ます。この問題は，大いに時間を使って考えることに意義がある問題と思います。数日ぐらいは考えても良いのでは？でも，数分で解けるかもしれないです。

領域の通過領域～GeoGebraを込めて～

よく大学受験では「直線の通過領域」ということで，ファクシミリの原理なんてお名前で呼ばれるものがあるけど，以下の問題は，いわゆる「領域の通過領域」を求める問題です。まずは問題を見てみよう。

座標平面において，を中心とする半径の円があり，その内部に
点 を取る。 上の 点 ，が を満たしながら動くとき，以下の問に答えなさい。
(1)　 とおくとき， の値をを用いて表しなさい。
　
(2)　線分 の中点をとする。線分 の中点 は，，の位置によらず を中心とするある定円上にあることを示し，その円の半径をを用いて表しなさい。
　
(3)　(2)の円の内部の領域（境界は除く）を とし， 上に定点 をとる。 が線分 上（両端は除く）を動くとき， が通過する範囲の面積を求めなさい。
　
[平成29年度河合塾東工大直前トライアル 大問1（出題の意図を変えない範囲で改めています。）]

記号がいっぱいあって大変に見えます。確か大学受験の2週間前にこの問題に遭遇して*1，(3)の解き方が分からなくて，んで初めて予備校講師先生*2の解説を聞いて，ともかくいろいろ印象に残っている問題です。

僕の偏見だけど，これが解ければ「通過領域」の問題は強い人という認識で良いと思います。

さ，というわけで今回も解答（例）を書いていきましょう。なんとなく今回は丁寧語で書きたい気分ですので，ですます調で頑張っていきます。

*1:誘っていただいたA君にはものすごーーーーく感謝しています。どちらかが落ちたらすごく気まずいなぁと思っていましたが，無事2人とも受かったので何よりです。

*2:鈴木 克昌先生と記憶しています。丸めがねが印象的です。

明日話したくなる豆知識～僕の好きな素数～

「僕の好きな素数はです。」

ほぼ初対面の人とのコミュニケーションで素数の話題になったとき（？），僕はきっとこんなことをいいます。ていうか何度か言っています。なぜ？って思われると思いますが，

• は素数である。
• が「よろしく」の語呂となっている。
• である。

これだけです。特に一番最後に載せた式が美しい。

無理数の独立性（?）

次の問題を解いてみよう。

を有理数とする。このとき，次を証明しなさい。

は明らかなので，を証明することになります。