有理数であることを示す抽象的な問題

今回の問題はこちら。

次のはいずれも正の実数とする。
(1)　「が有理数ならば，は常に有理数となる」という命題の真偽を判定しなさい。
(2)　が有理数ならば，も有理数であることを示しなさい。
(3)　が有理数で，さらにも有理数ならば，はいずれも有理数であることを示しなさい。

なかなかとっつきにくい問題に思われるかもしれません。
背理法を用いずに証明することが出来ます。この問題は，大いに時間を使って考えることに意義がある問題と思います。数日ぐらいは考えても良いのでは？でも，数分で解けるかもしれないです。

領域の通過領域～GeoGebraを込めて～

よく大学受験では「直線の通過領域」ということで，ファクシミリの原理なんてお名前で呼ばれるものがあるけど，以下の問題は，いわゆる「領域の通過領域」を求める問題です。まずは問題を見てみよう。

座標平面において，を中心とする半径の円があり，その内部に
点 を取る。 上の 点 ，が を満たしながら動くとき，以下の問に答えなさい。
(1)　 とおくとき， の値をを用いて表しなさい。
　
(2)　線分 の中点をとする。線分 の中点 は，，の位置によらず を中心とするある定円上にあることを示し，その円の半径をを用いて表しなさい。
　
(3)　(2)の円の内部の領域（境界は除く）を とし， 上に定点 をとる。 が線分 上（両端は除く）を動くとき， が通過する範囲の面積を求めなさい。
　
[平成29年度河合塾東工大直前トライアル 大問1（出題の意図を変えない範囲で改めています。）]

記号がいっぱいあって大変に見えます。確か大学受験の2週間前にこの問題に遭遇して*1，(3)の解き方が分からなくて，んで初めて予備校講師先生*2の解説を聞いて，ともかくいろいろ印象に残っている問題です。

僕の偏見だけど，これが解ければ「通過領域」の問題は強い人という認識で良いと思います。

さ，というわけで今回も解答（例）を書いていきましょう。なんとなく今回は丁寧語で書きたい気分ですので，ですます調で頑張っていきます。

*1:誘っていただいたA君にはものすごーーーーく感謝しています。どちらかが落ちたらすごく気まずいなぁと思っていましたが，無事2人とも受かったので何よりです。

*2:鈴木 克昌先生と記憶しています。丸めがねが印象的です。

明日話したくなる豆知識～僕の好きな素数～

「僕の好きな素数はです。」

ほぼ初対面の人とのコミュニケーションで素数の話題になったとき（？），僕はきっとこんなことをいいます。ていうか何度か言っています。なぜ？って思われると思いますが，

• は素数である。
• が「よろしく」の語呂となっている。
• である。

これだけです。特に一番最後に載せた式が美しい。

無理数の独立性（?）

次の問題を解いてみよう。

を有理数とする。このとき，次を証明しなさい。

は明らかなので，を証明することになります。

英単語並び替えメーカー

https://ja.overleaf.com/read/zpjxyjjyvrdx

今度は英単語をいい感じに並べ替えて生徒に嫌われてみよう。

連立方程式プリントメーカー

バイトで生徒を虐めたくなったので，　ちょっと連立方程式を自動で生成してくれるプリントを作ってみよう。
目標は，
１．問題を出力しきった後に解答を出力する
２．解けないものは無し。
３．僕は問題数を指定するだけでよい。計算はしない。
４．これまで1回だけPerlとtexをリンクさせて似たようなことをやろうとしたが，めんどいので無し。

おもしろそうなので解いてみた

とある私文の小問集合（笑）が難し過ぎて話題になっていると聞いて見てみたが，これは確かにキツイっすねぇ･･･．
殆どの理系大学生，時間掛けても解けないのでは･･･？ pic.twitter.com/vhLKjWDEwM

— 坂どん (@banban7866) 2019年3月16日

タイトルの通り，僕なりに解答を仕上げてみようと思う。

まぁ，一番解いてみたくなった理由は，「どこかで見たことがあるかもしれない」っていう微妙な既視感だけど。多分，どちゃ楽数学bot様かな?? 

なんだっけ，「黄金数の累乗はほとんど整数」って話かな？？

Q.155 ☆? ある数が「ほとんど整数」であるとは，整数ではないが，整数に非常に近いことを意味する。黄金比 の累乗はほとんど整数である。たとえば， は，見ての通り整数に近い。 の累乗がほとんど整数である理由を簡潔に説明せよ。

どちゃ楽 Q.155 「ほとんど整数」 - Unlimited Prime

まぁいいや。解いてみましょ。方針はこの「ほとんど整数」がベースです。